El oro y los fractales: ¿Está el precio del oro determinado por el tiempo?

En su libro Fractales, azar y finanzas, el matemático Benoît Mandelbrot utiliza como imagen de portada un objeto de oro esculpido de forma natural llamado «Zarza de Oro». Este magnífico objeto de la naturaleza, conservado en el Museo Nacional de Historia Natural de París, fue designado por Benoît Mandelbrot como una ilustración natural suficientemente perfecta de los fractales. Ahora, más de una década después de la muerte del matemático, el uso de los fractales sigue siendo restringido en el mundo científico o literario. Sin embargo, la utilidad de los fractales como herramienta matemática en previsiones y decisiones de inversión es absolutamente significativa. Tras introducir el concepto de fractal en este artículo, nos centraremos en la cuestión de si el precio del oro depende o no del tiempo. En otras palabras, si las tendencias observadas en el precio del oro pueden explicarse por el momento en que se producen. El caso del oro es sumamente interesante porque, más allá del simbolismo pretendido por Benoît Mandelbrot, los fractales son muy relevantes para el estudio de los precios del oro.

En este artículo, mostraremos que el precio del oro se comporta de forma independiente del tiempo.

Fuente : The Golden Bush| Museo Nacional de Historia Natural (mnhn.fr)

Comprender los fractales

Los fractales suelen ser malinterpretados por el público. Esto puede explicarse por el simple hecho de que los fractales ilustran un concepto nuevo y reciente en la historia. Sin embargo, la comprensión de los fractales por parte del público se ve a menudo limitada por la complejidad de las explicaciones de científicos y especialistas. Aun así, los fractales pueden definirse de forma bastante sencilla. En matemáticas, como se explicará aquí, los fractales pueden resumirse como una división «simple».

En finanzas, los fractales se refieren a la repetición de patrones de precios similares en escalas de tiempo progresivamente mayores o menores. Por ejemplo, si una onda alcista se compone de tres picos ascendentes y dos descendentes en el transcurso de un día, es muy posible que el mismo patrón se repita a lo largo de una década.

Los fractales están íntimamente ligados a los ciclos que fundamentaron el pensamiento y la investigación de Benoît Mandelbrot. Un activo para el que la ciclicidad de los precios sea fuerte será también un activo para el que los fractales estarán marcados (la repetición de los patrones de precios será elevada). Una vez comprendido esto, podemos decir hasta cierto punto que los fractales son la expresión de un orden constante en el tiempo. Los fractales surgen de una amplificación (o reducción) entre los movimientos observados en una escala temporal más bien corta y los movimientos en curso en una escala temporal más larga.

Ejemplo del fractal de Mandelbrot (repetición de figuras gráficas): Definición | Fractal | Futura Sciences (futura-sciences.com)

Una vez establecida esta definición, es mucho más fácil comprender los fractales. En matemáticas, el grado fractal de un bien se mide utilizando el coeficiente de Hurst (entre 0 y 1). Así:

• Si el exponente de Hurst es igual a 0,5, entonces el precio del oro progresa independientemente del paso del tiempo (el precio del oro no es fractal).
• Si el exponente de Hurst es superior a 0,5 (y especialmente a 0,6); entonces el precio del oro progresa de forma amplificada y dependiente del tiempo (el activo es fractal).
• Por el contrario, si el exponente de Hurst es inferior a 0,5 (especialmente 0,4), el precio del oro aumenta de forma reducida y dependiente del tiempo (el activo es fractal, pero más difícil de leer).

Medida de la volatilidad (histórica) del precio del oro

En primer lugar, calculamos la volatilidad mensual del precio del oro para determinar su sensibilidad a los fractales. La muestra de datos abarca desde enero de 2000 hasta septiembre de 2022, lo que equivale a un período de 261 meses.

Utilizando el cálculo de la volatilidad (leer más), obtenemos que la volatilidad mensual del precio del oro entre enero de 2000 y septiembre de 2022 es del 4,72%. Además, el rendimiento medio mensual del precio del oro es del +0,84%.. Estos datos de los que disponemos son esenciales para medir los fractales. Empecemos entonces nuestro análisis sin prestar atención a todos los aspectos técnicos…

Si el precio del oro no está sujeto a fractales, entonces podemos utilizar probabilidades para imaginar cuál será la volatilidad anual del oro. En efecto, la hipótesis de Benoît Mandelbrot, que es la base del descubrimiento de los fractales, es hacer la hipótesis (en matemáticas) de la no estacionariedad. Es decir, que la distribución de las variaciones del precio del oro en el pasado es independiente del tiempo en el presente. Pero esto no corresponde a nada real en el mundo real…

A partir de ahí, intentamos calcular la volatilidad anual (teórica) del precio del oro suponiendo que la evolución del precio del oro es independiente del tiempo (anualizamos la volatilidad según la teoría de las probabilidades estacionarias). Obtenemos entonces que la volatilidad anual (teórica) del precio del oro es del 16,35% entre enero de 2000 y septiembre de 2022. A título ilustrativo, representamos a continuación la evolución anual del precio del oro entre 2000 y 2022. El último gran récord de rendimiento se registró en 2006. Desde entonces, hemos entrado en un nuevo ciclo de caída del rendimiento del oro que podría terminar pronto.

Por el lado técnico, mencionamos a continuación el detalle (opcional) del cálculo. La volatilidad mensual observada se multiplica por la raíz del número de meses de un año para obtener la volatilidad anualizada. El parámetro determinante en esta ecuación es el exponente ½ (que en realidad es el exponente de Hurst), esto es lo que define los fractales de un activo. Pero planteamos aquí ½ según la hipótesis de estacionariedad, volveremos a ello más adelante…

Oro y fractales

Ahora sólo tenemos que medir la volatilidad anual real observada para saber finalmente si el precio del oro depende del tiempo a escala a medio plazo. Durante el periodo comprendido entre enero de 2000 y septiembre de 2022, la volatilidad histórica anualizada observada es del 16,8%. Por tanto, difiere (por un pequeño margen) de la volatilidad teórica calculada del 16,35%. Dado que la diferencia entre la volatilidad teórica y la observada es pequeña, cabe esperar que los fractales tengan poca influencia a medio plazo (el coeficiente de Hurst es cercano a 0,5).

En los detalles del cálculo (opcional), buscamos resolver la ecuación que nos permite obtener el valor de H, es decir, el exponente que transforma la volatilidad mensual verdadera en volatilidad anual. Utilizando la fórmula general enunciada por Benoît Mandelbrot, es decir, ln(P)/ln

Como resultado, el coeficiente de Hurst que mide el grado fractal de un activo es relativamente muy cercano a 0,5. Esto significa claramente que la evolución del precio del oro es relativamente independiente o casi independiente del paso del tiempo. Pero, ¿podemos afirmar globalmente que el oro no es sensible a los ciclos y a la evolución del tiempo?

La importancia de los marcos temporales…

Pero escribirlo así… El oro no ha dicho la última palabra. Si el oro es independiente del tiempo a medio plazo (de mensual a anual), esto no es mecánicamente el caso para otros marcos temporales. Se aplicó la misma metodología utilizando rigurosamente datos semanales sobre el precio del oro entre enero de 2000 y septiembre de 2022.

La volatilidad semanal del oro medida entre enero de 2000 y septiembre de 2022 es del 2,32% . Por lo tanto, nos es posible saber si el precio del oro es sensible al tiempo entre una escala semanal y una mensual, o entre una escala semanal y una anual. Para ello, aplicamos el mismo cálculo explicado en el apartado anterior. Así, obtenemos los siguientes resultados:

• El valor de H entre una muestra semanal y una muestra anual es 0,501 (ln7,24/ln52).
• El valor de H entre una muestra semanal y una muestra anual es 0,51 (ln2,03/ln4).

En consecuencia, tanto si hablamos del oro a corto como a largo plazo, su trayectoria es relativamente independiente del tiempo. Esto es lo suficientemente raro como para que se note en los mercados financieros…

Pero debemos tener esto en cuenta: el grado fractal de un activo es variable en el tiempo, y los cálculos realizados nos dan una especie de media de todos los coeficientes pasados. Por ejemplo, el coeficiente de Hurst fue globalmente inferior a 0,5 en 2015, lo que sugería una futura reversión alcista (el precio del oro se redujo con las escalas de tiempo más largas, lo que no es la norma para el metal amarillo).

Además, es importante precisar que antes de 2000, el precio del oro tenía un coeficiente de Hurst superior a 0,5 (cercano a 0,6 en los años 80, lo que puede leerse en algunos trabajos de Benoît Mandelbrot). El hecho de que la evolución del precio del oro se haya vuelto relativamente independiente del tiempo es un fenómeno bastante reciente (desde la década de 2000) y demuestra la gran esterilidad del oro para generar diferentes ajustes del mercado a corto o largo plazo…

El caso del bitcoin (BTC) es muy interesante por ser la antítesis absoluta del oro. En efecto, el coeficiente de Hurst medido entre la evolución mensual y anual del oro es de 0,92 (leer más). Esto significa que el bitcoin (BTC) depende totalmente o casi totalmente del tiempo, y que las probabilidades estacionarias son en gran medida ineficaces para describir su evolución en el tiempo. Lo que explica la evolución de los precios de las criptomonedas es el momento en que se producen estas tendencias… En este sentido, el bitcoin contrasta con el precio del oro, que se muestra independiente de los riesgos asociados a la temporalidad de los acontecimientos.

Es bastante notable observar en general que los activos más volátiles son también los activos más dependientes de la temporalidad de las tendencias. El oro es, por tanto, un activo a priori desvinculado del tiempo y poco o nada influyente en su evolución.

Hemos demostrado que los fractales son una forma muy relevante de medir el verdadero comportamiento de un activo. La mera existencia (o ausencia) de fractales en el precio de un activo financiero nos permite juzgar si el precio del activo depende (o es independiente) del paso del tiempo. En sus obras, Benoît Mandelbrot habla de «autofuerza relativa» al referirse a los fractales. Se trata de la capacidad de un activo para amplificar o reducir sus tendencias pasadas. Refleja la presencia de ciclos más pronunciados en el precio del activo en cuestión.

El caso del oro, elegido simbólicamente por el autor de los fractales, es un caso absolutamente interesante. Solíamos leer en el pasado (alrededor de la década de 1980 y hasta finales de siglo) que el precio del oro era un activo que dependía del tiempo, al igual que las acciones o varios otros metales. Pero un estudio riguroso de los datos de que disponemos muestra, por el contrario, que el oro se ha convertido, desde el año 2000, en un activo estéril en el tiempo. Tanto en plazos cortos como en plazos medios, el oro muestra una insensibilidad al tiempo… Esto no impide la presencia de ciclos, pero se hacen más difíciles de leer.

Pero entonces, ¿cómo explicar esta esterilidad del precio del oro a los efectos del tiempo? ¿Y cómo justificar que el oro es invariante con el tiempo, y que su estabilidad es digna de la más perfecta teoría elemental?

Dado que los fractales sirven de poco para leer el precio del oro, es legítimo buscar explicaciones en otra parte, pero las respuestas a esta pregunta siguen siendo complejas y no pueden responderse a día de hoy… Hay algo fascinante en el precio del oro: su capacidad para mantenerse estable frente a todas las pruebas del tiempo, algo que sólo una ínfima proporción de los activos mundiales es capaz de garantizar hasta el día de hoy. A pesar de que la cotización del oro es ciertamente menos cíclica que la de otros activos, uno no puede sino alegrarse al observar que su comportamiento está sesgado al alza.

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